如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22－02,12＝42－22...

问题详情：

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22－02,12＝42－22,20＝62－42，因此4,12,20这三个数都是神秘数．

(1)28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？

【回答】

解： (1)因为28＝82－62；2 012＝5042－5022，所以28和2 012是神秘数．

(2)因为(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，所以由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．

(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数，但一定不是8的倍数，设两个连续奇数为2k＋1和2k－1(k取正整数)，而(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，即两个连续奇数的平方差不是神秘数．

知识点：因式分解

题型：解答题