（2019·河南中考模拟）(1)问题发现：如图1，在等边中，点为边上一动点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接...

问题详情：

（2019·河南中考模拟）(1)问题发现：如图1，在等边中，点为边上一动点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．则与的数量关系是_____，的度数为______．

(2)拓展探究：如图2，在中，，，点为边上一动点，交于点，当∠ADF=∠ACF=90°时，求的值．

(3)解决问题：如图3，在中，，点为的延长线上一点，过点作交的延长线于点，直接写出当时的值．

【回答】

(1)，；(2)；(3).

【解析】

解：（1）∵DE∥AB ∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60° ∴△DEC是等边三角形，∠AED=120° ∴DE=DC， ∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF， ∴∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF ∴∠ADE=∠FDC，且CD=DE，AD=DF ∴△ADE≌△FDC（SAS） ∴AE=CF，∠AED=∠DCF=120° ∴∠ACF=60°， 故*为AE=CF，60°

（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=30° ∴tan∠BAC=

∵DE∥AB ∴∠EDC=∠ABC=90° ∵∠ADF=90°， ∴∠ADE=∠FDC ∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB，∠FCD=∠ACF+∠ACB ∴∠AED=∠FCD，且∠ADE=∠FDC ∴△DAE∽△DFC

∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC

（3）∵AB∥DE ∴∠ABC=∠BDE=∠ADF，∠BAC=∠E ∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF，且∠ACF=∠ABC ∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△FDC

∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC

∵

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和*质，旋转的*质，相似三角形的判定和*质，*△ADE∽△FDC是本题的关键．

知识点：相似三角形

题型：解答题