如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕...

问题详情：

如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，

AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长．

【回答】

解法一：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，又∵OF⊥AD，∴OF∥AB，又∵OB＝OD ，∴ AB＝2OF＝4cm，

∵BE︰BD＝1︰4，∴BE︰ED＝1︰3                ……………………3分

设BE＝x，ED＝3 x ，则BD＝4 x ，∵AE⊥BD于点E

∴，∴16－x2＝AD2－9x2………………6分

又∵AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，∴16－x2＝16 x2－16－9x2，8 x2＝32

∴x2＝4，∴x＝2                                  ……………………9分

∴BD＝2×4 ＝8（cm），∴AC＝8 cm ．            ……………………10分

解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝BD，∵BE︰BD＝1︰4，∴BE︰BO＝1︰2，

即E是BO的中点                                     ……………………3分

又AE⊥BO，∴AB＝AO，

由矩形的对角线互相平分且相等，∴AO＝BO              ……………………5分

∴△ABO是正三角形，

∴∠BAO＝60°，∴∠OAD＝90°－60°＝30°            ……………………8分

在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4，∴AC＝2AO＝8            ……………………10分

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题