问题详情:
为建设美丽乡村,*欲将一块长12百米,宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休
闲园,园区内有一景观湖EFG(图中*影部分).以AB所在直线为x 轴,AB的垂直
平分线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图所示).景观湖的边界曲线符合函数
模型.园区服务中心P在x 轴正半轴上,PO=百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的
最短长度;
(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道PQ最短.
【回答】
解:(1)(方法一)设,,
则 ,
当且仅当,即时取等号.
所以的最小值为百米.
(方法二)设直线(其中斜率一定存在),代入,
得,化简为.
设则,()
所以,
令,则,
当且仅当等号成立,即时成立.
综上,的最短长度为百米.
(2)当直线与边界曲线相切时,最短.
设切点为,由得,
所以切线的方程为.
因为在轴正半轴上,且PO=,所以点坐标为.
因为切线过点,所以,
整理得,解得,或.
因为,所以,此时切点为,切线方程为.
令,得,即点在线段上且距离轴百米.
答:当点在线段上且距离轴百米,通道PQ最短.
知识点:函数的应用
题型:解答题