如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1...

问题详情：

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．

（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；

（2）能否存在点E使得平面CDE上平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以*；若不能，请说明理由．

【回答】

解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．

（1）因为点E是D1O的中点，

所以点E的坐标为．

所以，，．

设是平面CDE的法向量，则

即，

取x＝2，则z＝－1，所以平面CDE的一个法向量为．

所以．

所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．

（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．

显然，．

设是平面CD1O的方向量，则，即．

取x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一个法向量为．

因为，所以点E的坐标为．

所以，．

设是平面CDE的法向量，则即．

取x＝1，则，所以平面CDE的一个法向量为．

因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ＝2．

所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题