如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动...

问题详情：

如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【回答】

解：（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+x+c得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；

（2）不存在，理由如下：

①当点Q在y轴右边时，如图1所示：

假设△QCO为等边三角形，

过点Q作QH⊥OC于H，

∵点C （0，3），

∴OC＝3，

则OH＝OC＝，tan60°＝，

∴QH＝OH•tan60°＝×＝，

∴Q（，），

把x＝代入y＝﹣x2+x+3，

得：y＝﹣≠，

∴假设不成立，

∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；

②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：

假设△QCO为等边三角形，

过点Q作QT⊥OC于T，

∵点C （0，3），

∴OC＝3，

则OT＝OC＝，tan60°＝，

∴QT＝OT•tan60°＝×＝，

∴Q（﹣，），

把x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3，

得：y＝﹣﹣≠，

∴假设不成立，

∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；

综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；

（3）令﹣x2+x+3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝4，

∴B（4，0），

设BC直线的解析式为：y＝kx+b，

把B、C的坐标代入则，

解得：，

∴BC直线的解析式为：y＝﹣x+3，

当⊙M与x轴相切时，如图3所示：

延长PM交AB于点D，

则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，

设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），

则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，

∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x+3，

解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去），

∴⊙M的半径为：MD＝﹣+3＝；

当⊙M与y轴相切时，如图4所示：

延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，

则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，

设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），

则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，

∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝x，

解得：x1＝，x2＝0（不合题意舍去），

∴⊙M的半径为：EM＝；

综上所述，⊙M的半径为或．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；

（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH＝，tan60°＝，求出Q（，），把x＝代入y＝﹣x2+x+3，得y＝﹣≠，则假设不成立；

②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT＝，tan60°＝，求出Q（﹣，），把x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3，得y＝﹣﹣≠，则假设不成立；

（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y＝﹣x+3，当⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，代入即可得出结果．

知识点：各地中考

题型：综合题