如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）；（2）的值为或；（3）存在，M的坐标为或或．

【分析】

（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；

（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的*质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；

（3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的*质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的*质和中点坐标公式求解即可.

【详解】

解：（1）在中，当时，当时，

∴、，

∵抛物线的图象经过A、C两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）令，解得，，∴，

设点E的横坐标为t，则，

如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴点F的横坐标为，

∴，

∴，

∴，

解得，，

当时，，

当时，，

∴，，

当点E的坐标为时，在中，，，

∴，

∴；

同理，当点E的坐标为时，，

∴的值为或；

（3）∵点N在对称轴上，∴，

∵点E位于对称轴左侧，∴.

①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：

（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，

∵，，，，

∴，当时，，

∴；

（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，

∵，，，，

∴，

当时，，

∴；

②当EB为平行四边形的对角线时，

∵，，，

∴，

∴，

当时，，

∴；

综上所述，M的坐标为或或．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与*质、一元二次方程的求解、锐角三角函数的知识、平行四边形的*质及其第四个顶点的确定问题，考查的知识点多、综合*强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键；熟知函数图象上点的坐标特征、灵活应用相似三角形的*质和方程思想是解（2）题的关键；正确分类、不重不漏，灵活运用平行四边形的*质和平移的数学思想方法是解（3）题的关键.

知识点：实际问题与二次函数

题型：解答题