如图，点B、C在线段上，且，点M是线段的中点，点N是线段上的一点，且．（1）若点N是线段的中点，求的长；（2）...

问题详情：

如图，点 B 、 C 在线段 上，且 ，点 M 是线段 的中点，点 N 是线段 上的一点，且 ．

（ 1 ）若点 N 是线段 的中点，求 的长；

（ 2 ）当 时，求 的长．

【回答】

（ 1 ） 14 （ 2 ）

【分析】

（ 1 ）根据题意可得出 CM ＝ AC ， CN ＝ CD ，所以 MN ＝ CM+CN ＝ (AC+CD) ＝ AD ＝ 9 ，从而得出 AD 的长，根据 AB ： BC ： CD ＝ 2 ： 3 ： 4 ，可得出 AB 的长，继而求出 BD 的长；

（ 2 ）根据题意，当 CN ＝ CD 时，设 AB ＝ 2x ， BC ＝ 3x ， CD ＝ 4x ，可得 AC ＝ 5x ，因为点 M 是线段 AC 的中点，可得 CM ＝ 2.5x ，因为 CN ＝ CD ，可求出 CN= x ，根据 MN=9 ，可解出 x 的值，继而得出 BD 的长；

【详解】

解：（ 1 ）如图，

∵ 点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 CD 的中点，

∴CM ＝ AC ， CN ＝ CD ，

∴MN ＝ CM+CN ＝ (AC+CD) ＝ AD ＝ 9 ，

∴AD ＝ 18 ，

∵AB ： BC ： CD ＝ 2 ： 3 ： 4 ，

∴AB ＝ ×AD ＝ 4 ，

∴BD ＝ AD ﹣ AB ＝ 18 ﹣ 4 ＝ 14 ；

（ 2 ） ∵ 当 CN ＝ CD 时，如图，

∵AB ： BC ： CD ＝ 2 ： 3 ： 4 ，

∴ 设 AB ＝ 2x ， BC ＝ 3x ， CD ＝ 4x ，

∴AC ＝ 5x ，

∵ 点 M 是线段 AC 的中点，

∴CM ＝ AC ＝ 2.5x ，

∵CN ＝ CD ＝ x ，

∴CM+CN ＝ x+ x ＝ MN ＝ 9 ，

∴x ＝ ，

∴BD ＝ 7x ＝ ；

【点睛】

本题考查了线段的中点，线段的和与差的计算及线段三等分点的计算．能求出各个线段的长度是解题的关键．

知识点：直*、*线、线段

题型：解答题