设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。（Ⅰ）写出曲线C1的...

问题详情：

设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

（Ⅰ）写出曲线C1的方程；

（Ⅱ）*曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，*s=t3/4-t且t≠0。

【回答】

（Ⅰ）解：曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s。

（Ⅱ）*：在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有

x1+x2/2=t/2, y1+t2/2=s/2。 ∴x1=t-x2, y1=s-y2。

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程： s-y2=(t-x2)3-(t-x2)，

即 y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。

反过来，同样可以*，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。

因此，曲线C与C1关于点A对称。

（Ⅲ）*：因为曲线C与C1有且公有一个公共点，

所以，方程组 y=x3-x, y=(x-t)3-(x-t)+s

有且公有一组解。 消去y，整理得

3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0， 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。

所以t≠0并且其根的判别式 △=9t4-12t(t3-t-s)=0。

即 t≠0, t(t3-4t-4s)=0。 ∴s=t3/4-t 且 t≠0。

知识点：圆锥曲线与方程

题型：计算题