问题详情:
如图 1,直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A、B,点C为x轴正半轴上的点,点 D从点C处出发,沿线段CB匀速运动至点 B 处停止,过点D作DE⊥BC,交x轴于点E,点 C′是点C关于直线DE的对称点,连接 EC′,若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S,点D的运动时间为t(秒),S与 t 的函数图象如图 2 所示.
(1)VD = ,C 坐标为 ;
(2)图2中,m= ,n= ,k= .
(3)求出S与t 之间的函数关系式(不必写自变量t的取值范围).
【回答】
(1)点D的运动速度为1单位长度/秒,点C坐标为(4,0).(2);;.(3)①当点C′在线段BC上时, S=t2;②当点C′在CB的延长线上, S=−t2+t−;③当点E在x轴负半轴, S=t2−4t+20.
【分析】
(1)根据直线的解析式先找出点B的坐标,结合图象可知当t=时,点C′与点B重合,通过三角形的面积公式可求出CE的长度,结合勾股定理可得出OE的长度,由OC=OE+EC可得出OC的长度,即得出C点的坐标,再由勾股定理得出BC的长度,根据CD=BC,结合速度=路程÷时间即可得出结论;
(2)结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点,即可得知当“当t=k时,点D与点B重合,当t=m时,点E和点O重合”,结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值,再由三角形的面积公式即可得出n的值;
(3)随着D点的运动,按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑:①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式;②由重合部分的面积=S△CDE−S△BC′F,通过解直角三角形得出两个三角形的各边长,结合三角形的面积公式即可得出结论;③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值,结合三角形的面积公式即可得出结论.
【详解】
(1)令x=0,则y=2,即点B坐标为(0,2),
∴OB=2.
当t=时,B和C′点重合,如图1所示,
此时S=×CE•OB=,
∴CE=,
∴BE=.
∵OB=2,
∴OE=,
∴OC=OE+EC=+=4,BC=,CD=,
÷=1(单位长度/秒),
∴点D的运动速度为1单位长度/秒,点C坐标为(4,0).
故*为:1单位长度/秒;(4,0);
(2)根据图象可知:
当t=k时,点D与点B重合,
此时k==2;
当t=m时,点E和点O重合,如图2所示.
sin∠C===,cos∠C=,
OD=OC•sin∠C=4×=,CD=OC•cos∠C=4×=.
∴m==,n=BD•OD=×(2−)×=.
故*为:;;2.
(3)随着D点的运动,按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑:
①当点C′在线段BC上时,如图3所示.
此时CD=t,CC′=2t,0<CC′≤BC,
∴0<t≤.
∵tan∠C=,
∴DE=CD•tan∠C=t,
此时S=CD•DE=t2;
②当点C′在CB的延长线上,点E在线段OC上时,如图4所示.
此时CD=t,BC′=2t−2,DE=CD•tan∠C=t,CE==t,OE=OC−CE=4−t,
∵,即,
解得:<t≤.
由(1)可知tan∠OEF==,
∴OF=OE•tan∠OEF=t,BF=OB−OF=,
∴FM=BF•cos∠C=.
此时S=CD•DE−BC′•FM=−;
③当点E在x轴负半轴,点D在线段BC上时,如图5所示.
此时CD=t,BD=BC−CD=2−t,CE=t,DF=,
∵,即,
∴<t≤2.
此时S=BD•DF=×2×(2−t)2=t2−4t+20.
综上,当点C′在线段BC上时, S=t2;当点C′在CB的延长线上, S=−t2+t−;当点E在x轴负半轴, S=t2−4t+20.
【点睛】
本题考查了勾股定理、解直角三角形以及三角形的面积公式,解题的关键是:(1)求出BC、OC的长度;(2)根据图象能够了解当t=m和t=k时,点DE的位置;(3)分三种情况求出S关于t的函数关系式.本题属于中档题,(1)(2)难度不大;(3)需要画出图形,利用数形结合,通过解直角三角形以及三角形的面积公式找出S关于t的函数解析式.
知识点:实际问题与二次函数
题型:解答题