如图11，⊙O是△ABC的内切圆．（1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E，①求...

问题详情：

如图11，⊙O是△ABC的内切圆．

（1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E，

① 求∠BOC的度数；

② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并*你的结论；

（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离．

【回答】

解：（1）①∵∠A＝60°

∴∠ABC＋∠ACB＝120°…………1分

∵⊙O是△ABC的内切圆

∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB

∴∠DBC＋∠ECB＝60°…………2分

∴∠BOC＝120°…………3分

②BC= BE＋CD…………4分

解法1：作∠BOC的平分线OF交BC于点F，

∵∠BOC＝120°

∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60°

在△BOE与 △BOF中

∴ △BOE≌△BOF（ASA）

∴ BE=BF …………6分

同理可*：CD=CF …………8分

∴ BC= BE＋CD

解法2：在BC上截取BF=BE，

可* △BOE≌△BOF（SAS）…………5分

∴∠BOE＝∠BOF

∵∠BOC＝120°      ∴∠BOE＝∠COD ＝∠COF＝60°

可*：△COD≌△COF（ASA）…………7分

∴ CD=CF …………8分

∴ BC= BE＋CD

（2）如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M

∵⊙O是△ABC的内切圆   ∴ AO是∠BAC的平分线，

又 AB＝AC，  ∴ AN⊥BC

∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝     ∴ AN＝8，BN＝6 …………9分

由切线长定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4，

∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，

∴△AOE∽△ABN    ∴ ，    即

解得…………10分

∴

∵，∠BAC=∠BAC

∴△AED∽△ABC

∴ ，………12分

以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形

∴∠DEF＝90°

∴ 是⊙O 的直径…………13分

∴

∴平移的距离是…………14分

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题