一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，（1...

问题详情：

一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，

（1）求等边三角形的高；

（2）求CE的长度；

（3）若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．

【回答】

（1）2；（2）3；（3）α＝60°或120°或180°或300°.

【分析】

（1）作AM⊥MC于M,在直角三角形ACM中,利用勾股定理即可解题,

（2）连接EF,在直角三角形CEF中, 利用勾股定理即可解题,

（3）画出图形即可解题.

【详解】

解：（1）如图，作AM⊥MC于M．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠MAC＝∠MAB＝30°，

∴CM＝AC＝2，

∴AM＝＝＝2

（2）∵CF是⊙O直径，

∴CF＝CM＝2，连接EF，则∠CEF＝90°，

∵∠ECF＝90°﹣∠ACB＝30°，

∴EF＝CF＝，

∴CE＝＝＝3．

（3）由图象可知，α＝60°或120°或180°或300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系,属于简单题,作辅助线和利用勾股定理求边长是解题关键.

知识点：正多边形和圆

题型：解答题