如圖,矩形中,,,現以矩形的邊爲軸,的中點   爲原點建立直角座標系,是軸上方一點,使得、與線段分別交於點...

問題詳情：

   如圖, 矩形中, , , 現以矩形的邊爲軸, 的中點 

   爲原點建立直角座標系, 是軸上方一點, 使得、與線段分別交於點、,

   且成等比數列.

  (1) 求動點的軌跡方程；

  (2) 求動點到直線距離

     的最大值及取得最大值時點的座標．

【回答】

解：（1）設點的座標爲，過作交的延長線於，交的延

長線於.

在中, , 得，

得.　　　　　　　　　

在中, ,

得.　　　　　　　　　　

同理可得.　　　　　　　

∵ 成等比數列，

∴ .

∴ .

化簡得.

∴ 動點的軌跡方程爲.　　　

(2)由圖易知當與直線平行的直線與半橢圓相切於點時，點到直線距離的最大.

 設與直線平行的直線方程爲，代入，

得 ，①　　　　　　　　　　　　　　　　

由，

解得，由，得.　　　　　　　　　　　　　　　

故點到直線距離的最大值爲.　　　　　

把代入①式，可解得點的座標爲.　　　　　　

知識點：數學競賽

題型：綜合題