如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時...

問題詳情：

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉90°得到EF．

（1）如圖1，若AD＝BD，點E與點C重合，AF與DC相交於點O．求*：BD＝2DO．

（2）已知點G爲AF的中點．

①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．

②若AD＝6BD，是否存在點E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．

【回答】

【分析】（1）如圖1中，首先*CD＝BD＝AD，再*四邊形ADFC是平行四邊形即可解決問題．

（2）①作DT⊥BC於點T，FH⊥BC於H．*DG是△ABF的中位線，想辦法求出BF即可解決問題．

②分三種情形情形：如圖3﹣1中，當∠DEG＝90°時，F，E，G，A共線，作DT⊥BC於點T，FH⊥BC於H．設EC＝x．構建方程解決問題即可．如圖3﹣2中，當∠EDG＝90°時，取AB的中點O，連接OG．作EH⊥AB於H．構建方程解決問題即可．如圖3﹣3中，當∠DGE＝90°時，構造相似三角形，利用相似三角形的*質構建方程解決問題即可．

【解答】（1）*：如圖1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，

∵CD＝CF，

∴AD＝CF，

∵∠ADC＝∠DCF＝90°，

∴AD∥CF，

∴四邊形ADFC是平行四邊形，

∴OD＝OC，

∵BD＝2OD．

（2）①解：如圖2中，作DT⊥BC於點T，FH⊥BC於H．

由題意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，

∵DT⊥BC，

∴BT＝TC＝7，

∵EC＝2，

∴TE＝5，

∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，

∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，

∴∠TDE＝∠FEH，

∵ED＝EF，

∴△DTE≌△EHF（AAS），

∴FH＝ET＝5，

∵∠DDBE＝∠DFE＝45°，

∴B，D，E，F四點共圓，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵∠DBE＝45°，

∴∠FBH＝45°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠HBF＝∠HFB＝45°，

∴BH＝FH＝5，

∴BF＝5，

∵∠ADC＝∠ABF＝90°，

∴DG∥BF，

∵AD＝DB，

∴AG＝GF，

∴DG＝BF＝．

②解：如圖3﹣1中，當∠DEG＝90°時，F，E，G，A共線，作DT⊥BC於點T，FH⊥BC於H．設EC＝x．

∵AD＝6BD，

∴BD＝AB＝2，

∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，

∴DT＝BT＝2，

∵△DTE≌△EHF，

∴EH＝DT＝2，

∴BH＝FH＝12﹣x，

∵FH∥AC，

∴＝，

∴＝，

整理得：x2﹣12x+28＝0，

解得x＝6±2．

如圖3﹣2中，當∠EDG＝90°時，取AB的中點O，連接OG．作EH⊥AB於H．

設EC＝x，由2①可知BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），

∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，

∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，

∴∠DGO＝∠HDE，

∴△EHD∽△DOG，

∴＝，

∴＝，

整理得：x2﹣36x+268＝0，

解得x＝18﹣2或18+2（捨棄），

如圖3﹣3中，當∠DGE＝90°時，取AB的中點O，連接OG，CG，作DT⊥BC於T，FH⊥BC於H，EK⊥CG於K．設EC＝x．

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴D，B，F，E四點共圓，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵AO＝OB，AG＝GF，

∴OG∥BF，

∴∠AOG＝∠ABF＝90°，

∴OG⊥AB，

∵OG垂直平分線段AB，∵CA＝CB，

∴O，G，C共線，

由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），CK＝EK＝x，GK＝7﹣（12﹣x）﹣x，

由△OGD∽△KEG，可得＝，

∴＝，

解得x＝2，

，綜上所述，滿足條件的EC的值爲6±2或18﹣2或2．

【點評】本題屬於幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的*質，平行四邊形的判定和*質，全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：綜合題