如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點M，連接MD，MG，...

問題詳情：

如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點M，連接MD，MG，MB．

（1）試*DM⊥MG，並求的值．

（2）如圖2，將圖1中的正方形變爲菱形，設∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它條件不變，問（1）中的值有變化嗎？若有變化，求出該值（用含α的式子表示）；若無變化，說明理由．

【回答】

（1）*：如圖1中，延長DM交FG的延長線於H．

∵四邊形ABCD，四邊形BCFG都是正方形，

∴DE∥AC∥GF，

∴∠EDM＝∠FHM，

∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，

∴△EDM≌△FHM（AAS），

∴DE＝FH，DM＝MH，

∵DE＝2FG，BG＝DG，

∴HG＝DG，

∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，

∴GM⊥DM，DM＝MG，

連接EB，BF，設BC＝a，則AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，

∵∠EBD＝∠DBF＝45°，

∴∠EBF＝90°，

∴EF＝＝a，

∵EM＝MF，

∴BM＝EF＝a，

∵HM＝DM，GH＝FG，

∴MG＝DF＝a，

∴＝＝．

（2）解：（1）中的值有變化．

理由：如圖2中，連接BE，AD交於點O，連接OG，CG，BF，CG交BF於O′．

∵DO＝OA，DG＝GB，

∴GO∥AB，OG＝AB，

∵GF∥AC，

∴O，G，F共線，

∵FG＝AB，

∴OF＝AB＝DF，

∵DF∥AC，AC∥OF，

∴DE∥OF，

∴OD與EF互相平分，

∵EM＝MF，

∴點M在直線AD上，

∵GD＝GB＝GO＝GF，

∴四邊形OBFD是矩形，

∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，

∵OM＝MD，OG＝GF，

∴MG＝DF，設BC＝m，則AB＝2m，

易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，

∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，

∴＝＝．

知識點：各地中考

題型：綜合題