橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率,過點C（－1,0）的直線與橢圓E相交於A、B兩點，且滿足點C分向量...

問題詳情：

橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率, 過點C（－1,0）的直線與橢圓E相交於A、B兩點，且滿足點C分向量的比爲2.

（1）用直線的斜率k( k≠0 ) 表示△OAB的面積；（2）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。

【回答】

解：（1）設橢圓E的方程爲( a＞b＞0 )，由e =

∴a2=3b2   故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2

設A(x1,y1)、B(x2,y2),由於點C（－1，0）分向量的比爲2，

由消去y整理並化簡得    (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0

由直線l與橢圓E相交於A（x1,y1）, B(x2,y2)兩點得：

而S△OAB  ⑤

由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB  =

（2）因S△OAB=,

當且僅當S△OAB取得最大值

此時 x1 + x2 =－1, 又∵  =－1    ∴x1=1,x2 =－2

將x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴橢圓方程x2 + 3y2 = 5

知識點：高考試題

題型：綜合題