已知橢圓：的左、右焦點分別爲，過點作垂直於軸的直線，直線垂直於點，線段的垂直平分線交於點．（1）求點的軌跡的方...

問題詳情：

已知橢圓：的左、右焦點分別爲，過點作垂直於軸的直線，直線垂直於點，線段的垂直平分線交於點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線，且分別交橢圓於，求四邊形面積的最小值．

【回答】

1）；（2）．

試題分析：（1）求得橢圓的焦點座標，連接，由垂直平分線的*質可得，運用拋物線的定義，即可得到所求軌跡方程；（2）分類討論：當或中的一條與軸垂直而另一條與軸重合時，此時四邊形面積．當直線和的斜率都存在時，不妨設直線的方程爲，則直線的方程爲．分別與橢圓的方程聯立得到根與係數的關係，利用弦長公式可得，．利用四邊形面積即可得到關於斜率的式子，再利用*和二次函數的最值求法，即可得出．

試題解析：解：（1）∵，∴點到定直線：的距離等於它到定點的距離，∴點的軌跡是以爲準線，爲焦點的拋物線．

∴點的軌跡的方程爲．

（2）當直線的斜率存在且不爲零時，直線的斜率爲，，，則直線的斜率爲，直線的方程爲，聯立，得．

∴，．

．由於直線的斜率爲，用代換上式中的。可得．

∵，∴四邊形的面積．

由於，∴，當且僅當，即時取得等號．

易知，當直線的斜率不存在或斜率爲零時，四邊形的面積．

綜上，四邊形面積的最小值爲．

考點：橢圓的簡單*質．

【思路點晴】求得橢圓的焦點座標,由垂直平分線的*質可得,運用拋物線的定義,即可得所求的軌跡方程．第二問分類討論,當或中的一條與軸垂直而另一條與軸重合時,四邊形面積爲．當直線和的斜率都存在時,分別設出的直線方程與橢圓聯立得到根與係數的關係,利用弦長公式求得,從而利用四邊形的面積公式求最值．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題