數列{an}滿足Sn=2n﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）計算a1，a2，a3，a4，並由此猜想通項公式an；（Ⅱ）...

問題詳情：

數列{an}滿足Sn=2n﹣an（n∈N*）．

（Ⅰ）計算a1，a2，a3，a4，並由此猜想通項公式an；

（Ⅱ）用數學歸納法*（Ⅰ）中的猜想．

【回答】

【考點】RG：數學歸納法；8H：數列遞推式；F1：歸納推理．

【分析】（Ⅰ）透過n=1，2，3，4，直接計算a1，a2，a3，a4，並由此猜想通項公式；

（Ⅱ）直接利用數學歸納法*．檢驗n取第一個值時，等式成立，假設，*．

【解答】（本小題滿分8分）

解：（Ⅰ）當n=1時，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．

當n=2時，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．

同理：，．

由此猜想…

（Ⅱ）*：①當n=1時，左邊a1=1，右邊=1，結論成立．

②假設n=k（k≥1且k∈N*）時，結論成立，即，

那麼n=k+1時，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1，

所以2ak+1=2+ak，所以，

這表明n=k+1時，結論成立．

由①②知對一切n∈N*猜想成立．…

知識點：數列

題型：解答題