若二次函數的圖像與軸有兩個交點，且經過點過點的直線與軸交於點與該函數的圖像交於點（異於點）．滿足是等腰直角三角...

問題詳情：

若二次函數的圖像與軸有兩個交點，且經過點過點的直線與軸交於點與該函數的圖像交於點（異於點）．滿足是等腰直角三角形，記的面積爲的面積爲，且．

（1）拋物線的開口方向              （填“上”或“下”）；

（2）求直線相應的函數表達式；

（3）求該二次函數的表達式．

【回答】

（1）上；（2）；（3）

【解析】

(1)由拋物線經過點M、N、A點即可確定開口向上；

(2)根據是等腰直角三角形分三種情況討論，只能是，此時，由此算出C點座標，進而求解；

(3)過B點作BH⊥x軸，由得到，由OA的長求出BH的長，再將B點縱座標代入直線l中求出B點座標，最後將A、B、N三點座標代入二次函數解析式中求解即可．

【詳解】

解：(1)∵拋物線經過點M、N、A，且M、N點在x軸正半軸上，A點在y軸正半軸上，

∴拋物線開口向上，

故*爲：上．

(2)①若，

則與重合，直線與二次函數圖像交於點

∵直線與該函數的圖像交於點（異於點）

∴不合符題意，捨去；

②若，則在軸下方，

∵點在軸上，

∴不合符題意，捨去；

③若

則

設直線

將代入：

，解得

直線．

故*爲：．

(3)過點作軸，垂足爲，

，

又，

，

又，

，

即點縱座標爲，

又(2)中直線l經過B點，

將代入中，得，

，

將三點座標代入中，得

，

解得，

拋物線解析式爲．

故*爲：．

【點睛】

本題考查了二次函數解析式的求法，二次函數和一次函數的交點座標，等腰直角三角形分類討論的思想，熟練掌握二次函數的圖形及*質是解決此類題的關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題