已知橢圓C：過點M（2，3）,點A爲其左頂點，且AM的斜率爲，（1）求C方程；（2）點N爲橢圓上任意一點，求△...

問題詳情：

已知橢圓C：過點M（2，3）,點A爲其左頂點，且AM的斜率爲 ，

（1）求C方程；

（2）點N爲橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

【回答】

（1）；（2）12.

【解析】

【分析】

(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(2)首先利用幾何關係找到三角形面積最大時點N的位置，然後聯立直線方程與橢圓方程，結合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.

【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程爲：，即.

當y=0時，解得，所以a=4，

橢圓過點M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)設與直線AM平行的直線方程爲：，

如圖所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點爲N，此時△AMN的面積取得最大值.

聯立直線方程與橢圓方程，

可得：，

化簡可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

與AM距離比較遠的直線方程：，

直線AM方程爲：，

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，

利用平行線之間的距離公式可得：，

由兩點之間距離公式可得.

所以△AMN的面積的最大值：.

【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程後的運算能力，重視根與係數之間的關係、弦長、斜率、三角形的面積等問題．

知識點：高考試題

題型：解答題