問題詳情:
已知橢圓的一個頂點爲,右焦點爲,且,其中爲原點.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)已知點滿足,點在橢圓上(異於橢圓的頂點),直線與以爲圓心的圓相切於點,且爲線段的中點.求直線的方程.
【回答】
(Ⅰ);(Ⅱ),或.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根據題意,並藉助,即可求出橢圓的方程;
(Ⅱ)利用直線與圓相切,得到,設出直線的方程,並與橢圓方程聯立,求出點座標,進而求出點座標,再根據,求出直線的斜率,從而得解.
【詳解】(Ⅰ)橢圓的一個頂點爲,
,
由,得,
又由,得,
所以,橢圓的方程爲;
(Ⅱ)直線與以爲圓心的圓相切於點,所以,
根據題意可知,直線和直線的斜率均存在,
設直線的斜率爲,則直線的方程爲,即,
,消去,可得,解得或.
將代入,得,
所以,點的座標爲,
因爲爲線段的中點,點的座標爲,
所以點的座標爲,
由,得點的座標爲,
所以,直線的斜率爲,
又因爲,所以,
整理得,解得或.
所以,直線的方程爲或.
【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關係、直線與圓的位置關係、中點座標公式以及直線垂直關係的應用,考查學生的運算求解能力,屬於中檔題.當看到題目中出現直線與圓錐曲線位置關係的問題時,要想到聯立直線與圓錐曲線的方程.
知識點:高考試題
題型:解答題