如圖，的外接圓的半徑爲，所在的平面，，，，且，．（1）求*：平面平面．（2）試問線段上是否存在點，使得直線與...

問題詳情：

 如圖，的外接圓的半徑爲，所在的平面，，，，且，．

（1）求*：平面平面．

（2）試問線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值爲？若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．

【回答】

【*】（1）*詳見解析；（2）存在，且．

【解析】

試題分析：（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，則BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直徑，則AC⊥BC由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；（2）方法一：過點M作MN⊥CD於N，連接AN，作MF⊥CB於F，連接AF，可得∠MAN爲MA與平面ACD所成的角，設MN=x，則由直線AM與平面ACD所成角的正弦值爲，我們可以構造關於x的方程，解方程即可求出x值，進而得到點M的位置．方法二：建立如圖所示空間直角座標系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直線AM的方向向量（含參數λ），由直線AM與平面ACD所成角的正弦值爲，根據向量夾角公式，我們可以構造關於λ的方程，解方程即可得到λ值，進而得到點M的位置．

試題解析：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB

∵BE=1，  ∴  ，

從而

∵⊙的半徑爲，∴AB是直徑，

∴AC⊥BC

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE

（2）方法1：

假設點M存在，過點M作MN⊥CD於N，連結AN，作MF⊥CB於F，連結AF

∵平面ADC平面BCDE，

∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN爲MA與平面ACD所成的角

設MN=x，計算易得，DN=，MF=

故

   解得：（捨去） ，11分

故，從而滿足條件的點存在，且

方法2：建立如圖所示空間直角座標系C—xyz，

則：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），則

易知平面ABC的法向量爲，假設M點存在，設，則，再設，

即，從而…10分

設直線BM與平面ABD所成的角爲，則：

解得，其中應捨去，而故滿足條件的點M存在，且點M的座標爲

考點：1、面面垂直的判定；2、直線和平面所成的角．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題