問題詳情:
如圖,一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上,邊AC與EF重合,AC=12cm.當點E從點A出發沿AC方向滑動時,點F同時從點C出發沿*線BC方向滑動.當點E從點A滑動到點C時,點D運動的路徑長爲 cm;連接BD,則△ABD的面積最大值爲 cm2.
【回答】
(24﹣12) (24+36﹣12) cm2.
【分析】過點D'作D'N⊥AC於點N,作D'M⊥BC於點M,由直角三角形的*質可得BC=4cm,AB=8cm,ED=DF=6cm,由“AAS”可*△D'NE'≌△D'MF',可得D'N=D'M,即點D'在*線CD上移動,且當E'D'⊥AC時,DD'值最大,則可求點D運動的路徑長,由三角形面積公式可求S△AD'B=BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M=24+(12﹣4)×D'N,則E'D'⊥AC時,S△AD'B有最大值.
【解答】解:∵AC=12cm,∠A=30°,∠DEF=45°
∴BC=4cm,AB=8cm,ED=DF=6cm
如圖,當點E沿AC方向下滑時,得△E'D'F',過點D'作D'N⊥AC於點N,作D'M⊥BC於點M
∴∠MD'N=90°,且∠E'D'F'=90°
∴∠E'D'N=∠F'D'M,且∠D'NE'=∠D'MF'=90°,E'D'=D'F'
∴△D'NE'≌△D'MF'(AAS)
∴D'N=D'M,且D'N⊥AC,D'M⊥CM
∴CD'平分∠ACM
即點E沿AC方向下滑時,點D'在*線CD上移動,
∴當E'D'⊥AC時,DD'值最大,最大值=ED﹣CD=(12﹣6)cm
∴當點E從點A滑動到點C時,點D運動的路徑長=2×(12﹣6)=(24﹣12)cm
如圖,連接BD',AD',
∵S△AD'B=S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B=BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M=24+(12﹣4)×D'N
當E'D'⊥AC時,S△AD'B有最大值,
∴S△AD'B最大值=24+(12﹣4)×6=(24+36﹣12)cm2.
故*爲:(24﹣12),(24+36﹣12)
【點評】本題考查了軌跡,全等三角形的判定和*質,等腰直角三角形的*質,角平分線的*質,三角形面積公式等知識,確定點D的運動軌跡是本題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:填空題