已知中心在原點的雙曲線C的右焦點爲(2,0),右頂點爲(,0).(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線y=kx+...

問題詳情：

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點爲(2,0),右頂點爲(,0).

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交於不同的兩點M,N,且線段MN的垂直平分線過點A(0,-1),求實數m的取值範圍.

【回答】

解:(1)設雙曲線方程爲-=1(a>0,b>0).

由已知得a=,c=2,

又a2+b2=c2,得b2=1,

故雙曲線C的方程爲-y2=1.

(2)聯立

整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.

因爲直線與雙曲線有兩個不同的交點,

所以

可得m2>3k2-1且k2≠.①

設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點爲B(x0,y0),

則x1+x2=,x0==,

y0=kx0+m=,

由題意得,AB⊥MN,

kAB==-(k≠0,m≠0),

整理得3k2=4m+1,②

將②代入①,得m2-4m>0,

所以m<0或m>4,

又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.

所以m的取值範圍是(-,0)∪(4,+∞).

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題