已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，O是座標原點，點A的座標是（﹣1，0），點C...

問題詳情：

已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，O是座標原點，點A的座標是（﹣1，0），點C的座標是（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）求直線BC的函數表達式和∠ABC的度數；

（3）P為線段BC上一點，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點P的座標．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）直接將A，C點座標代入拋物線解析式求出即可；

（2）首先求出B點座標，進而利用待定係數法求出直線BC的解析式，進而利用CO，BO的長求出∠ABC的度數；

（3）利用∠ACB=∠PAB，結合相似三角形的判定與*質得出BP的長，進而得出P點座標．

【解答】解：（1）將點A的座標（﹣1，0），點C的座標（0，﹣3）代入拋物線解析式得：

，

解得：，

故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=3，故B點座標為：（3，0），

設直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

故直線BC的解析式為：y=x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BO=OC=3，

∴∠ABC=45°；

（3）過點P作PD⊥x軸於點D，

∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，

∴△ABP∽△CBA，

∴=，

∵BO=OC=3，

∴BC=3，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴=，

解得：BP=，

由題意可得：PD∥OC，

∴DB=DP=，

∴OD=3﹣=，

則P（，﹣）．

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與*質以及待定係數法求一次函數和二次函數解析式等知識，熟練應用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解題關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題