如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中點，以O為圓心在AD的下方作半徑為3的半圓O，交AD於...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中點，以O為圓心在AD的下方作半徑為3的半圓O，交AD於E、F．

思考：連接BD，交半圓O於G、H，求GH的長；

探究：將線段AF連帶半圓O繞點A順時針旋轉，得到半圓O′，設其直徑為E'F′，旋轉角為α（0＜α＜180°）．

（1）設F′到AD的距離為m，當m＞時，求α的取值範圍；

（2）若半圓O′與線段AB、BC相切時，設切點為R，求的長．

（sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝，結果保留π）

【回答】

思考：GH＝ ；探究：（1）α的取值範圍為30°＜α＜150°；（2）或.

【解析】

思考：作ON⊥BD，*△ADB∽△NDO得，據此求得ON＝，再根據勾股定理求得NH的長，繼而由GH＝2NH可得*；

探究：(1)過F′作F′Q⊥AD於Q，分垂足Q落在線段AD上和線段DA延長線上兩種情況，利用Rt△AQF′中，sin∠QAF′＝求得∠QAF′的度數即可得出∠α的範圍；

(2)分半圓O′與AB相切和與BC相切兩種情況求解，求出所對圓心角度數即可得出*．

【詳解】

思考：如圖1，過O作ON⊥BD於N，

∴HN＝GN，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，

又∵AB＝6，

∴BD＝10，

∵∠BAD＝∠OND＝90°，∠ADB＝∠NDO，

∴△ADB∽△NDO，

∴，

∴ON＝，

連接OH，

∵OH＝3，

∴HN＝，

∴GH＝2HN＝；

探究：(1)如圖2，過F′作F′Q⊥AD於Q，

當F′到AD的距離為時，有F′Q＝，

此時，

所以α＝30°，

如圖3，當Q落在DA延長線時，

可求得α＝150°，

所以當m＞時，α的取值範圍為30°＜α＜150°；

(2)如圖4，當半圓O′與AB相切，切點為R，連接O′R，

∴∠O′RA＝90°，

∵，

∴∠O′AR＝49°，

∴∠F′O′R＝90°+49°＝139°，

∴的長＝；

如圖5，當半圓O′與BC相切，切點為R，過點O′作O′P⊥AB於P，連接O′R，

∴∠O′RB＝90°，

易得四邊形PBRO′是矩形，

∴O′R＝BP＝3，

∴AP＝3，

∴，

∴∠PO'A＝49°，

∴∠RO'F'＝41°，

∴的長＝，

綜上，的長為或.

【點睛】

本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握垂徑定理、相似三角形的判定與*質、矩形的判定與*質及切線的*質等知識點．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題