如圖，在▱ABCD中，AC，BD交於點O，且AO＝BO．（1）求*：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平...

問題詳情：

如圖，在▱ABCD中，AC，BD交於點O，且AO＝BO．

（1）求*：四邊形ABCD是矩形；

（2）∠ADB的角平分線DE交AB於點E，當AD＝3，tan∠CAB＝時，求AE的長．

【回答】

（1）見解析；（2）.

【分析】

(1)由平行四邊形*質和已知條件得出AC＝BD，即可得出結論；

(2)過點E作EG⊥BD於點G，由角平分線的*質得出EG＝EA．由三角函數定義得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函數定義得出，即可得出*．

【詳解】

(1)*：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC＝2AO，BD＝2BO．

∵AO＝BO，

∴AC＝BD．

∴平行四邊形ABCD為矩形．

(2)過點E作EG⊥BD於點G，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴EA⊥AD，

∵DE為∠ADB的角平分線，

∴EG＝EA．

∵AO＝BO，

∴∠CAB＝∠ABD．

∵AD＝3，tan∠CAB＝，

∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．

∴AB＝4．

∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．

設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，

在△BEG中，∠BGE＝90°，

∴sin∠ABD＝．

解得：x＝，

∴AE＝．

故*為：.

【點睛】

本題考查了矩形的判定與*質、角平分線的*質、勾股定理、三角函數定義等知識；熟練掌握矩形的判定與*質和三角函數定義是解題的關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題