如圖①，兩個全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，點A與點E重合，點D與點B重合．現...

問題詳情：

如圖①，兩個全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，點A與點E重合，點D與點B重合．現△ABC不動，把△EDC繞點C按順時針方向旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．

（1）如圖②，AB與CE交於F，ED與AB、BC分別交於M、H．求*：CF=CH；

（2）如圖③，當α=45°時，試判斷四邊形ACDM是什麼四邊形，並説明理由；

（3）如圖②，在△EDC繞點C旋轉的過程中，連接BD，當旋轉角α的度數為　   　時，△BDH是等腰三角形．

【回答】

（1）*：∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，

∵△ABC不動，把△EDC繞點C按順時針方向旋轉，旋轉角為α，

∴CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，

在△CAF和△CDH中

，

∴△CAF≌△CDH，

∴CF=CH；  

（2）解：四邊形ACDM是菱形．理由如下：

∵∠ACE=∠BCD=45°，

而∠A=45°，

∴∠AFC=90°，

而∠FCD=90°，

∴AB∥CD，

同理可得AC∥DE，

∴四邊形ACDM是平行四邊形，

而CA=CD，

∴四邊形ACDM是菱形；

（3）解：∵CB=CD，∠BCD=α，

∴∠CBD=∠CDB=（180°﹣α），

∴∠HBD＞∠BDH，

∴當DB=DH或BH=BD時，△BDH是等腰三角形，

∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，

當DB=DH，則∠HBD=∠BHD，即（180°﹣α）=α+45°，解得α=30°；

當BH=BD，則∠BHD=∠BDH，即α+45°=（180°﹣α）﹣45°，解得α=0（捨去），

∴α=30°，

即當旋轉角α的度數為30°時，△BDH是等腰三角形．

故*為30°．

知識點：中心對稱

題型：解答題