問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+x+c交x軸於A,B兩點,交y軸於點C.直線y=﹣x﹣2經過點A,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是拋物線上一動點,過點P作x軸的垂線,交直線AC於點M,設點P的橫座標為m.
①當△PCM是直角三角形時,求點P的座標;
②作點B關於點C的對稱點B',則平面內存在直線l,使點M,B,B′到該直線的距離都相等.當點P在y軸右側的拋物線上,且與點B不重合時,請直接寫出直線l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
【回答】
【分析】(1)利用一次函數圖象上點的座標特徵可求出點A,C的座標,根據點A,C的座標,利用待定係數法可求出二次函數解析式;
(2)①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°兩種情況考慮:(i)當∠MPC=90°時,PC∥x軸,利用二次函數圖象上點的座標特徵可求出點P的座標;(ii)當∠PCM=90°時,設PC與x軸交於點D,易*△AOC∽△COD,利用相似三角形的*質可求出點D的座標,根據點C,D的座標,利用待定係數法可求出直線PC的解析式,聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組,通過解方程組可求出點P的座標.綜上,此問得解;
②利用二次函數圖象上點的座標特徵可得出點B,P的座標,根據點P,B的座標,利用待定係數法可求出直線PB的解析式,結合題意可知:直線l過點C,且直線l∥直線PB,再結合點C的座標即可求出直線l的解析式.
【解答】解:(1)當x=0時,y=﹣x﹣2=﹣2,
∴點C的座標為(0,﹣2);
當y=0時,﹣x﹣2=0,
解得:x=﹣4,
∴點A的座標為(﹣4,0).
將A(﹣4,0),C(0,﹣2)代入y=ax2+x+c,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣2.
(2)①∵PM⊥x軸,
∴∠PMC≠90°,
∴分兩種情況考慮,如圖1所示.
(i)當∠MPC=90°時,PC∥x軸,
∴點P的縱座標為﹣2.
當y=﹣2時,x2+x﹣2=﹣2,
解得:x1=﹣2,x2=0,
∴點P的座標為(﹣2,﹣2);
(ii)當∠PCM=90°時,設PC與x軸交於點D.
∵∠OAC+∠OCA=90°,∠OCA+∠OCD=90°,
∴∠OAC=∠OCD.
又∵∠AOC=∠COD=90°,
∴△AOC∽△COD,
∴=,即=,
∴OD=1,
∴點D的座標為(1,0).
設直線PC的解析式為y=kx+b(k≠0),
將C(0,﹣2),D(1,0)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴直線PC的解析式為y=2x﹣2.
聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組,得:,
解得:,,
點P的座標為(6,10).
綜上所述:當△PCM是直角三角形時,點P的座標為(﹣2,﹣2)或(6,10).
②當y=0時,x2+x﹣2=0,
解得:x1=﹣4,x2=2,
∴點B的座標為(2,0).
∵點C的座標為(0,﹣2),點B,B′關於點C對稱,
∴點B′的座標為(﹣2,﹣4).
∵點P的橫座標為m(m>0且m≠0),
∴點M的座標為(m,0).
分三種情況考慮,如圖2所示:
∴直線PB的解析式為y=(m+4)x﹣(m+4)(可利用待定係數求出).
∵點B,B′關於點C對稱,點B,B′,P到直線l的距離都相等,
∴直線l過點C,且直線l∥直線PB,
∴直線l的解析式為y=(m+4)x﹣2.
【點評】本題考查了一次函數圖象上點的座標特徵、待定係數法二次函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、待定係數法求一次函數解析式、相似三角形的判定與*質以及平行線的*質,解題的關鍵是:(1)根據點的座標,利用待定係數法求出二次函數解析式;(2)①分∠MPC=90°及∠PCM=90°兩種情況求出點P的座標;②利用待定係數法及平行線的*質,求出直線l的解析式.
知識點:各地中考
題型:綜合題