如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交於A(3，0)，B(－1，0)兩點，過點B作直線BC⊥x軸，交直線y＝－...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交於A(3，0)，B(－1，0)兩點，過點B作直線BC⊥x軸，交直線y＝－2x於點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求該拋物線的頂點D的座標，並判斷頂點D是否在直線y＝－2x上；

(3)點P是拋物線上一動點，是否存在這樣的點P(點A除外)，使△PBC是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的座標；若不存在，請説明理由．

第9題圖

【回答】

解：(1)∵y＝x2＋bx＋c與x軸交於A(3，0)，B(－1，0)兩點，

∴

∴拋物線的解析式為y＝x2－x－1；

(2)∵a＝，b＝－，c＝－1，

拋物線的頂點D的座標為(－，)，

∴D(1，－)．

把x＝1代入y＝－2x中得y＝－2，

∵－≠－2，

∴頂點D不在直線y＝－2x上；

(3)存在．理由如下：

如解圖，過點C作x軸的平行線，與該拋物線交於點P1，P2，連接BP1，BP2.

第9題解圖

∵直線BC⊥x軸，

∴△P1BC、△P2BC都是直角三角形．

把x＝－1代入y＝－2x中得：

y＝－2×(－1)＝2，

∴C(－1，2)．

∴把y＝2代入y＝x2－x－1中得x2－x－1＝2，

解得x1＝＋1，x2＝－＋1.

∴P1(＋1，2)，P2(－＋1，2)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題