如圖，直線y＝kx＋b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交於點A(－4，0)、B(0，3)，拋物線y＝－x...

問題詳情：

    如圖，直線y＝kx＋b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交於點A(－4，0)、B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交於點C．

    （1）求直線y＝kx＋b的解析式；

    （2）若點P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關於x的函數解析式，並求d取最小值時點P的座標；

    （3）若點E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE＋EF的最小值．

【回答】

思路分析：（1）將A、B兩點座標代入y＝kx＋b中，求出k、b的值；（2）作出點P到直線AB的距離後，由於∠AHC＝90°，考慮構造“K形”相似，得到△MAH、△OBA、△NHP三個三角形兩兩相似，三邊之比都是3∶4∶5．由“”可得，整理可得d關於x的二次函數，*可求出d的最小值；

    （3）如果點C關於直線x＝1的對稱點C′，根據對稱*可知，CE＝C′E．當C′F⊥AB時，CE＋EF最小．

    解：（1）∵y＝kx＋b經過A(－4，0)、B(0，3),

            ∴，解得k＝，b＝3．

            ∴y＝x＋3．

       （2）過點P作PH⊥AB於點H，過點H作x軸的平行線MN，分別過點A、P作MN的垂線段，垂足分別為M、N．

        設H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．

        ∵PH⊥AB，∴∠CHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°．

        ∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90°，∴△AMH∽△HNP．

        ∵MA∥y軸，∴△MAH∽△OBA．∴△OBA∽△NHP．

        ∴．

        ∴．

        整理得：，所以當x＝，即P(，)．

    （3）作點C關於直線x＝1的對稱點C′，過點C′作C′F⊥AB於F．過點F作JK∥x軸，，分別過點A、C′作AJ⊥JK於點J，C′K⊥JK於點K．則C′(2，1)

        設F(m，m＋3)

∵C′F⊥AB，∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵CK⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°．

        ∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K．

        ∴，∴，解得m＝或－4（不符合題意）．

        ∴F(，)，∵C′(2，1)，∴FC′＝．

∴CE＋EF的最小值＝C′E＝．

知識點：各地中考

題型：綜合題