設x，y，z為非零實數，滿足xy+yz+zx=1，*：.

問題詳情：

設x，y，z為非零實數，滿足xy+yz+zx=1，*：.

【回答】

不等式的*一般可以考慮運用作差法或者是利用分析法來*．

【解析】

試題分析：為使所*式有意義，三數中至多有一個為0；據對稱*，不妨設，則；

、當時，條件式成為，，，而

，

只要*，，即，也即，此為顯然；取等號若且唯若．

、再*，對所有滿足的非負實數，皆有

．顯然，三數中至多有一個為0，據對稱*，

仍設，則，令，為鋭角，以為內角，構作，則，於是，且由知，；於是，即是一個非鈍角三角形．

下面採用調整法，對於任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調整為以為頂角的等腰，其中，且設，記，據知，

．今*，．即

……①．

即要*……②

先*……③，即*，

即，此即，也即

，即，此為顯然．

由於在中，，則；而在中，

，因此②式成為

……④，

只要*，……⑤，即*，注意③式以及

，只要*，即，也即…⑥

由於最大角滿足：，而，則，所以

，故⑥成立，因此⑤得*，由③及⑤得④成立，從而①成立，即，因此本題得*．

考點：不等式的*

點評：主要是考查了不等式的*，方法比較多，一般是分析法和作差法構造函數法，屬於難度題．

知識點：不等式選講

題型：解答題