问题详情:
(2019·河南中考模拟)(1)问题发现:如图1,在等边中,点为边上一动点,交于点,将绕点顺时针旋转得到,连接.则与的数量关系是_____,的度数为______.
(2)拓展探究:如图2,在中,,,点为边上一动点,交于点,当∠ADF=∠ACF=90°时,求的值.
(3)解决问题:如图3,在中,,点为的延长线上一点,过点作交的延长线于点,直接写出当时的值.
【回答】
(1),;(2);(3).
【解析】
解:(1)∵DE∥AB ∴∠ABC=∠EDC=60°,∠BAC=∠DEC=60° ∴△DEC是等边三角形,∠AED=120° ∴DE=DC, ∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF, ∴∠ADF=60°=∠EDC,AD=DF ∴∠ADE=∠FDC,且CD=DE,AD=DF ∴△ADE≌△FDC(SAS) ∴AE=CF,∠AED=∠DCF=120° ∴∠ACF=60°, 故*为AE=CF,60°
(2)∵∠ABC=90°,∠ACB=60°, ∴∠BAC=30° ∴tan∠BAC=
∵DE∥AB ∴∠EDC=∠ABC=90° ∵∠ADF=90°, ∴∠ADE=∠FDC ∵∠ACF=90°,∠AED=∠EDC+∠ACB,∠FCD=∠ACF+∠ACB ∴∠AED=∠FCD,且∠ADE=∠FDC ∴△DAE∽△DFC
∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC
(3)∵AB∥DE ∴∠ABC=∠BDE=∠ADF,∠BAC=∠E ∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB ∴∠ADE=∠CDF, ∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF,且∠ACF=∠ABC ∴∠BAC=∠DCF=∠E,且∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△FDC
∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC
∵
【点睛】
本题是相似形综合题,考查了全等三角形的判定和*质,旋转的*质,相似三角形的判定和*质,*△ADE∽△FDC是本题的关键.
知识点:相似三角形
题型:解答题