如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，D...

问题详情：

如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．

（1）求*：△BDE≌△BAC；

（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；

②求*：四边形ADEG是平行四边形；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．

【回答】

（1）*：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，

∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．

∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，

∴∠EDA＝α﹣45°，

∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，

②*：∵△BDE≌△BAC，

∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的对角线，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°．

∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，

∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

＝225°﹣∠BAC

∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°

∴DE∥AG，

∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．

理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．

∵四边形ABDI是正方形，

∴AD＝AB．

又∵四边形ACHG是正方形，

∴AC＝AG，

∴AC＝AB．

∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题