如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c...

问题详情：

如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，

∴AC==10，

过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，

∴=，

∴QE=（10﹣m），

∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；

②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，

∴当m=5时，S取最大值；

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，

D的坐标为（3，8），Q（3，4），

当∠FDQ=90°时，F1（，8），

当∠FQD=90°时，则F2（，4），

当∠DFQ=90°时，设F（，n），

则FD2+FQ2=DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，

解得：n=6±，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题