问题详情:
如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,得
,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+
x+8;
(2)①∵OA=8,OC=6,
∴AC==10,
过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB==
=
,
∴=
,
∴QE=(10﹣m),
∴S=•CP•QE=
m×
(10﹣m)=﹣
m2+3m;
②∵S=•CP•QE=
m×
(10﹣m)=﹣
m2+3m=﹣
(m﹣5)2+
,
∴当m=5时,S取最大值;
在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+
x+8的对称轴为x=
,
D的坐标为(3,8),Q(3,4),
当∠FDQ=90°时,F1(,8),
当∠FQD=90°时,则F2(,4),
当∠DFQ=90°时,设F(,n),
则FD2+FQ2=DQ2,
即+(8﹣n)2+
+(n﹣4)2=16,
解得:n=6±,
∴F3(,6+
),F4(
,6﹣
),
满足条件的点F共有四个,坐标分别为
F1(,8),F2(
,4),F3(
,6+
),F4(
,6﹣
).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题