如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B...

问题详情：

如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）． （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴； （2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为， ①求点P的坐标； ②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（-2，0），C（6，0） ∴设交点式y=a（x+2）（x-6） ∵抛物线过点A（0，6） ∴-12a=6 ∴a=- ∴抛物线解析式为y=-（x+2）（x-6）=-x2+2x+6=-（x-2）2+8 ∴抛物线对称轴为直线x=2． （2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1 ∴∠PHD=90° ∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧 ∴2＜m＜6，PH=n=-m2+2m+6，n＞0 ∵OA=OC=6，∠AOC=90° ∴∠ACO=45° ∵PD⊥AC于点E ∴∠CED=90° ∴∠CDE=90°-∠ACO=45° ∴DH=PH=n ∵PG∥AB ∴∠PGH=∠ABO ∴△PGH∽△ABO ∴ ∴GH=n ∴d=DH-GH=n-n=n=（-m2+2m+6）=-m2+m+4（2＜m＜6） （3）①∵S△PDG=DG•PH= ∴n•n= 解得：n1=，n2=-（舍去） ∴-m2+2m+6= 解得：m1=-1（舍去），m2=5 ∴点P坐标为（5，） ②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形． 设直线AP解析式为y=kx+6 把点P代入得：5k+6= ∴k=- ∴直线AP：y=-x+6 i）若∠RAS=90°，如图2 ∵直线AC解析式为y=-x+6 ∴直线AR解析式为y=x+6   解得：（即点A） ∴R（2，8） ∵∠ASR=∠OAC=45° ∴RS∥y轴 ∴xS=xR=2 ∴S（2，4） ∴直线OM：y=2x ∵  解得： ∴M（，）ii）若∠ASR=90°，如图3 ∴∠SAR=∠ACO=45° ∴AR∥x轴 ∴R（4，6） ∵S在AR的垂直平分线上 ∴S（2，4） ∴M（，） iii）若∠ARS=90°，如图4， ∴∠SAR=∠ACO=45°，RS∥y轴 ∴AR∥x轴 ∴R（4，6） ∴S（4，2） ∴直线OM：y=x ∵  解得： ∴M（6，3） 综上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）． 【解析】

（1）已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式．用*法或公式求得对称轴． （2）过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易*∠PDH=45°，故DH=PH=n．由PG∥AB易*△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GH=n，把含m的式子代入d=DH-GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6． （3）①用n表示DG、PH，代入S△PDG=DG•PH=，求得n的值（舍去负值），再利用n=-m2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标． ②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或90°．由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标． 本题考查了二次函数的图象与*质，等腰直角三角形的*质，相似三角形的判定和*质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与*质，二元一次方程组的解法．第（3）题②要充分利用等腰直角三角形的*质和直线AC与y轴夹角为45°来解题，画出图形进行分类讨论，先确定点R、S的位置并计算坐标，再求直线OM解析式与AP联立求M．

知识点：各地中考

题型：综合题