已知函数，，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.

问题详情：

已知函数，，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.

【回答】

（1）见解析；（2）.

【分析】

（1）求出函数的定义域和导数，由得出和，然后对和的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数的单调增区间和减区间；

（2）由，得出，得出，构造函数，将问题转化为，其中，然后利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出实数的取值范围.

【详解】

（1）函数的定义域为，

.

当时，令，可得或.

①当时，即当时，对任意的，，

此时，函数的单调递增区间为；

②当时，即当时，

令，得或；令，得.

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

③当时，即当时，

令，得或；令，得.

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）由题意，可得，可得，其中.

构造函数，，则.

，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在或处取得最小值，

，，则，，.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.

知识点：导数及其应用

题型：解答题