如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（...

问题详情：

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；

（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），

∴

解得．

∴所求解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）设点P的坐标为（x，y），

由题意：S△PAB=×4|y|=8，

∴|y|=4，

∴y=±4．

当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，

∴x1=2+1，x2=﹣2+1；

当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，∴x=1，

∴满足条件的点P有3个，

即（2+1，4），（﹣2+1，4），（1，﹣4）．

（3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．

∵AC长为定值，

∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，

∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是（3，0），

∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点，

设过点B，C的直线的解析式y=kx﹣3，把B（3，0）代入，

∴3k﹣3=0，

∴k=1，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

把x=1代入上式，

∴y=﹣2，

∴Q点坐标为（1，﹣2）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题