在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过二次函数y＝﹣x2+4x图象上的点A（3，3）作x轴的垂线交x轴于点B．（...

问题详情：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过二次函数y＝﹣x2+4x图象上的点A（3，3）作x轴的垂线交x轴于点B．

（1）如图1，P为线段OA上方抛物线上的一点，在x轴上取点C（1，0），点M、N为y轴上的两个动点，点M在点N的上方且MN＝1．连接AC，当四边形PACO的面积最大时，求PM+MNNO的最小值．

（2）如图2，点Q（3，1）在线段AB上，作*线CQ，将△AQC沿直线AB翻折，C点的对应点为C'，将△AQC'沿*线CQ平移3个单位得△A'Q'C″，在*线CQ上取一点M，使得以A'、M、C″为顶点的三角形是等腰三角形，求M点的坐标．

【回答】

【解析】（1）如图1，过点O作直线l，使直线l经过第二、四象限且与x轴夹角为60°；

过点P作PF⊥x轴于点E，交OA于点D，交直线l于点F；在PF上截取PP'＝1；过点N作NG⊥直线l于点G

∵A（3，3），AB⊥x轴于点B，∴直线OA解析式为y＝x，OB＝AB＝3，

∵C（1，0），∴，是定值，

设P（t，﹣t2+4t）（0＜t＜3），

∴D（t，t），

∴PD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，

∴

∴时，S△OAP最大，

此时，S四边形PACO＝S△AOC+S△OAP最大，

，∴，

∴，即，

∵点M、N在y轴上且MN＝1，∴PP'＝MN，PP'∥MN，

∴四边形MNP'P是平行四边形，∴PM＝P'N，

∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°﹣60°＝30°，

∴Rt△ONG中，，∴，

∴当点P'、N、G在同一直线上，即P'G⊥直线l时，最小，

∵，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°，

∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，，

∴，∴，

∴Rt△P'GF中，，

∴，

∴PM+MNNO的最小值为.

（2）延长A'Q'交x轴于点H，

∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x轴于点B，

∴CB＝2，BQ＝1，∴CQ，

∵△AQC沿直线AB翻折得△AQC'，∴B（3，0）是CC'的中点，∴C'（5，0），

∵平移距离QQ'＝3，∴CQ'＝CQ+QQ'＝4，

∵QB∥Q'H，∴△CBQ∽△CHQ'，

∴，∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4，

∴xQ'＝OC+CH＝1+8＝9，∴Q'（9，4），

∴点Q（3，1）向右平移6个单位，向上平移3个单位得到点Q'（9，4）

∴A'（9，6），C''（11，3），

∴A'C''，

设直线CQ解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，∴直线CQ：，

设*线CQ上的点M（m，）（m＞1），

∴A'M2＝（9﹣m）2+（）2＝（9﹣m）2+（m）2，

C''M2＝（11﹣m）2+（）2＝（11﹣m）2+（m）2，

∵△A'MC''是等腰三角形，

①若A'M＝A'C''，则（9﹣m）2+（m）2＝13，解得：m1＝7，m2，

∴M（7，3）或（，），

②若C''M＝A'C''，则（11﹣m）2+（m）2＝13，解得：m1，m2＝13，

∴M（，）或（13，6），

③若A'M＝C''M，则（9﹣m）2+（m）2＝（11﹣m）2+（m）2，解得：m＝10，

∴M（10，），

综上所述，点M坐标为（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题