设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)&...

问题详情：

设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(0,1)               B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)          D.(0,1)∪(1,+∞)

【回答】

A.记函数g(x)=,

则g′(x)=,

因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,

故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;

又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,

且g(-1)=g(1)=0.

当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;

当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,

综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).

知识点：导数及其应用

题型：选择题