问题详情:
探究活动一:
如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E,线段ME与线段MF的数量关系是 .(不必*,直接给出结论即可)
探究活动二:
如图2,将上题中的“正方形”改为“矩形”,且AB=mBC,其他条件不变(矩形ABCD和矩形QMNP,∠M=∠B,M是矩形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E),探究并*线段ME与线段MF的数量关系;
探究活动三:
根据前面的探索和图3,平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中,若AB=mBC,∠M=∠B,M是平行四边形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E,请探究并*线段ME与线段MF的数量关系.
【回答】
【解答】解:(1)ME=MF.
理由:如图1,过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM,[来源:学*科*网Z*X*X*K]
则∠MHF=∠MGE=90°,
∵M是正方形ABCD的对称中心,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
在正方形ABCD中,∠DAB=90°,而∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠EMF=∠HMG=90°,
∴∠FMH=∠EMG,
在△MHF和△MGE中,
∴△MHF≌△MGE(ASA),
∴MF=ME,
故*为:MF=ME;
(2)ME=mMF.
理由:如图2,过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
则∠MHE=∠MGF=90°,
在矩形ABCD中,∠A=90°,
∴在四边形GMHA中,∠GMH=90°,
又∵∠EMF=90°,
∴∠HME=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴=,
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴MG=BC,MH=AB,
∵AB=mBC,
∴==m,
∴ME=mMF;
(3)ME=mMF.
理由:如图3,过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
则∠MHE=∠MGF=90°,
在平行四边形ABCD中,∠A+∠B=180°,而∠EMF=∠B,
∴∠A+∠EMF=180°,
又∵在四边形AGMH中,∠A+∠HMG=180°,
∴∠EMF=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴=,
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴MG=BC,MH=AB,
∵AB=mBC,
∴===m,
∴ME=mMF.
知识点:相似三角形
题型:综合题