已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）*函数存在唯一的极大值点，且.

问题详情：

已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值；

（2）*函数存在唯一的极大值点，且.

【回答】

（1）（2）*见解析

【分析】

（1）求导，可得（1），（1），结合已知切线方程即可求得，的值；

（2）利用导数可得，，再构造新函数，利用导数求其最值即可得*．

【详解】

（1）函数的定义域为，，

则（1），（1），

故曲线在点，（1）处的切线方程为，

又曲线在点，（1）处的切线方程为，

，；

（2）*：由（1）知，，则，

令，则，易知在单调递减，

又，（1），

故存在，使得，

且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，

由于，（1），（2），

故存在，使得，

且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，

故函数存在唯一的极大值点，且，即，

则，

令，则，

故在上单调递增，

由于，故（2），即，

．

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调*，极值及最值，考查推理论*能力，属于中档题．

知识点：导数及其应用

题型：解答题