如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且...

问题详情：

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． 

（1）求*：直线CP是⊙O的切线； 

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离；

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【回答】

（1）*见解析；（2）4；（3）20．

【分析】

（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可；

（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．

【详解】

解：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵点D在⊙O上，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，

∴sin∠CAN=，

∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

设AF=x，则CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即点B到AC的距离为4．

（3）在Rt△BCF中，CF=

∴AF=AC-CF=5-2=3， ∵BF∥CP， ∴,， ∴CP=，BP= ∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和*质，相似三角形的判定和*质，勾股定理，相似三角形的判定和*质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．

知识点：圆的有关*质

题型：解答题