问题详情:
已知函数.
(1)若直线过点(1,0),并且与曲线相切,求直线的方程;
(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点,求的取值范围.(其中∈R,e为自然对数的底数)
【回答】
解:(1)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,
所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0),又切线l过点(1,0),
所以有-x0lnx0=(lnx0+1)(1-x0),即lnx0=x0-1,设h(x)=lnx-x+1,则,x∈(0,1),,h(x)单调递增,x∈(1,),,h(x)单调递减,h(x)max=h(1)=0有唯一解,所以x0=1,y0=0.
所以直线l的方程为y=x-1.(4分)
(2)因为g(x)=xlnx-a(x-1),注意到g(1)=0,
所以所求问题等价于函数g(x)=xlnx-a(x-1)在(1,e]上没有零点.
因为.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1,
所以g(x)在(0,ea-1)上单调递减,在(ea-1,)上单调递增.(6分)
①当ea-1≤1,即a≤1时,g(x)在(1,e]上单调递增,所以g(x)>g(1)=0.
此时函数g(x)在(1,e]上没有零点,(7分)
②当1<ea-1<e,即1<a<2时,g(x)在[1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e]上单调递增,
又因为g(1)=0,g(e)=e-ae+a,g(x)在(1,e]上的最小值为g(ea-1)=a-ea-1,
所以(i)当1<a≤时,g(x)在[1,e]上的最大值g(e)≥0,即此时函数g(x)在(1,e]上有零点.(10分)
(ii)当<a<2时,g(e)<0,即此时函数g(x)在(1,e]上没有零点,
③当e≤ea-1即a≥2时,g(x)在[1,e]上单调递减,所以g(x)在[1,e]上满足g(x)<g(1)=0,此时函数g(x)在(1,e]上没有零点.(11分)
综上,所求的a的取值范围是a≤1或a>.(12分)
知识点:函数的应用
题型:解答题