如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为...

问题详情：

如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），

将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，

令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；

（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，

函数顶点坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），

将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，

当y＝0时，x＝，

故点E（，x）；

（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，

∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，

过点B作BH⊥AH，设PH＝AH＝m，

则PB＝PA＝m，

由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，

16＝m2+（m﹣m）2，解得：m＝（负值已舍去），

则PB＝m＝1+，

则yP＝＝；

②当点P在x轴下方时，

则yP＝﹣（）；

故点P的坐标为（1，）或（1，）．

知识点：各地中考

题型：综合题