如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半...

问题详情：

如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

【回答】

解：（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．

∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b．

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴点F的坐标为（4，0）．

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．

∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），

∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），

∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5．

∵﹣＜0，0≤m≤4，

∴当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5．

（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，

∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，

∴点M的坐标为（0，4）；

②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA．

设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，

∴n2=（n﹣3）2+16，

解得：n=，

∴点D的坐标为（，0）．

设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），

将P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，

，解得：，

∴直线PD的解析式为y=﹣x+．

联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，．

∴点M的坐标为（，）．

综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．

知识点：各地中考

题型：综合题