如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接A...

问题详情：

如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．

观察猜想

（1）①OE与CE的数量关系是　   　；

②∠OEC与∠OAB的数量关系是　   　；

类比探究

（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出*；若不成立，请说明理由；

拓展迁移

（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．

【回答】

【解答】（1）①如图1中，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD＝90°，

∵∠AOD＝90°，AE＝DE，

∴OE＝AD，EC＝AD，

∴OE＝EC．

②∵EO＝EA，EC＝EA，

∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，

∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝45°，

∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，

∴∠OEC＝2∠OAB，

故*为OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．

（2）结论成立．

理由：如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．

由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，

∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，

∴△AEO≌△DEH（SAS），

∴AO＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，

∴∠CDH＝∠OBC＝90°，

∵OA＝OB，BC＝CD，

∴DH＝OB，

∴△HDC≌△OBC（SAS），

∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，

∴∠HCO＝∠DCB＝90°，

∴∠COE＝∠CHE＝45°，

∵OE＝EH，

∴CE⊥OE，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝EC．

（3）①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．

由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，

∵BC＝BD＝1，OB＝3，

∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，

∴OE＝OC＝．

②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，

综上所述，OE的长为或2．

知识点：图形的旋转

题型：综合题