如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长...

问题详情：

如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．

（1）求*：EC是⊙O的切线；

（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．

【回答】

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）*：连接OB，根据平行四边形的*质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的*质和三角形的外角的*质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；

（2）根据平行四边形的*质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

（1）*：连接OB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D＝60°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝30°，

∵BE＝AB，

∴∠E＝∠BAE，

∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，

∴∠E＝∠BAE＝30°，

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠OAB＝30°，

∴∠OBC＝30°+60°＝90°，

∴OB⊥CE，

∴EC是⊙O的切线；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝2，

过O作OH⊥AM于H，

则四边形OBCH是矩形，

∴OH＝BC＝2，

∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，

∴的长度＝＝．

【点睛】

本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的*质，矩形的判定和*质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题