如图，△BCD是等边三角形AB＝AD，∠BAD＝90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′...

问题详情：

如图，△BCD是等边三角形AB＝AD，∠BAD＝90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.

(1)求*：AD⊥AC′；

(2)若M，N分别是BD，C′B的中点，求二面角N－AM－B的余弦值．

【回答】

 (1)∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB，

又∵C′B⊥AD，且AB∩C′B＝B，

∴AD⊥平面C′AB，

∵AC′⊂平面C′AB，

∴AD⊥AC′；

(2)∵△BCD是等边三角形，AB＝AD，∠BAD＝90°，

不妨设AB＝1，则BC＝CD＝BD＝，

以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C′(0,0,1)，

∵点M、N分别为BD，C′B的中点，∴M，N，

∴＝，＝，

设平面AMN的一个法向量为m＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，则y＝z＝－1，∴m＝(1，－1，－1)，

平面ABM的一个法向量为n＝(0,0,1)，

∴cos〈m，n〉＝＝＝－，

∴二面角N－AM－B的余弦值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题