已知，点M为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象的顶点，直线y=mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B。...

问题详情：

已知，点M为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象的顶点，直线y=mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B。

（1）判断顶点M是否在直线y=4x＋1上，并说明理由。   

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1，根据图象，写出x的取值范围。   

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（ ，y1），D（ ，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小。   

【回答】

（1）∵点M坐标是（b，4b＋1）， ∴把x=b代入y=4x＋1，得y=4b＋1， ∴点M在直线y=4x＋1上。 （2）如图1，∵直线y=mx＋5与y轴交于点为B， ∴点B坐标为（0，5） 又∵B（0，5）在抛物线上， ∴5=-（0-b）2＋4b＋1，解得b=2 ∴二次函数的表达式为y=-（x-2）2＋9 ∴当y=0时，得x1=5，x2=-1， ∴A（5，0）． 观察图象可得，当mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1时， x的取值范围为x＜0或x＞5． （3）如图2，∵直线y=4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，而直线AB表达式为y=-x＋5， 解方程组 ，得 ∴点E（ ， ），F（0，1） ∵点M在△AOB内， ∴0<b< . 当点C，D关于抛物线对称轴（直线x=b）对称时，b- = -b ∴b= 且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y=4x＋1上， 综上：①当0＜b＜ 时，y1＞y2； ②当b= 时，y1=y2； ③当 ＜b＜ 时，y1＜y2。 

【考点】二次函数与一次函数的综合应用  

【解析】【分析】（1）验*一个点的坐标是否在一个函数图象：即把该点的横坐标代入该函数表达式，求出纵坐标与该点的纵坐标比较是否一样； （2）求不等式mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1的解集，不能直接解不等式，需要结合函数图象解答，因为次函数y=-（x-b）2＋4b＋1，一次函数y=mx＋5，这个不等式即表示一次函数的值要大于二次函数的值，结合图象，即一次函数的图象在二次函数图的上方时x的取值范围，此时x的范围是在点B的左边，点A的右边，则需要分别求出点B和点A的横从标；因为点B是在直线直线y=mx＋5与y轴的交点，令x=0，可求得B（0,5）；因为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象经过点B，将B（0,5）代入可求得b，然后令二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1=0，求出点A的横坐标的值即可 （3）二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1的图象是开口向下的，所以有最大值，当点离对称轴越近时，也就越大，因为C（， y1），D（， y2）的横坐标是确定的，则需要确定对称轴x=b的位置，先由顶点M在△AOB内，得出b的取值范围；一般先确定y1=y2时对称轴位置，再结合“点离对称轴越近时，也就越大”分三类讨论，当y1>y2  ， 当y1=y2  ， 当y1<y2时b的取值范围．

知识点：各地中考

题型：综合题